数学

実数の定義・デデキント切断

デデキント切断による実数の定義をする。

まずデデキント切断(以下、切断)とは、整数や有理数などの集合(厳密には全順序集合)を二つの集合A,Bに分けたときの(A,B)の組のことである。ただし\( A \cup B =\varnothing \)、\( A \neq \varnothing ,B \neq \varnothing\)である。

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二つの集合は共通部分を持たなくて、それぞれ少なくとも1つは要素を持つってことね!

また、切断したとき以下4つのパターンに帰着することが分かっている。なお\( a \in A , b \in B , a < b \)とする。

  • (1) Aに最大の数があり、Bに最小の数がある
  • (2) Aに最大の数があり、Bに最小の数がない
  • (3) Aに最大の数がなく、Bに最小の数がある
  • (4) Aに最大の数がなく、Bに最小の数がない

イメージはこうである

実数を定義するので元の集合を有理数として考える。すなわちpは有理数。
まず例として、\( A= \{p | p \leq \frac{1}{3} \} \)と\( B= \{p | p > \frac{1}{3} \} \)である切断(A,B)は有理数\( \frac{1}{3}\) にあたるのがわかる。このときAには最大の数(\( \frac{1}{3} \))が存在し、Bには最小の数は存在しないので該当するパターンは(2)となる。また\( \frac{1}{3} \)をBに含ませると、\( A= \{p | p < \frac{1}{3} \} \)と\( B= \{p | p \geq \frac{1}{3} \} \)となりこの切断(A,B)は(3)に該当する。この2つのパターンは直感でもなんとなくわかる。

適当な数pから切断(A,B)が決まるのではなく、切断(A,B)から適当な数pが決まる

では、有理数において(1)と(4)のパターンはあり得るだろうか?
(1)の場合、有理数はぎっしり詰まっているので(稠密性)(1)はあり得ない。
(4)の場合、例えば\( A= \{p | p < \sqrt{2} \} \)と\( B= \{p | p \geq \sqrt{2} \} \)である切断(A,B)を考えた時、Aの最大の数は存在しないし、Bの最小の数も存在しない(2の平方根は有理数ではないので)。よって(4)のパターンになる。

このように、切断(A,B)が有理数に対応するときには(2)か(3)のパターンに、切断(A,B)が有理数ではないとき(無理数)に対応するときには(4)のパターンになる。これは(4)のときには有理数ではない新しい数が存在したということであり、(4)の切断(A,B)によって新たな数が定義できるということである。

これらから、実数を以下のように定める。

有理数を切断(A,B)を実数という

また、(4)のパターンになる切断(A,B)全体を無理数と定義する。
このようにして、有理数ではなかった\( \sqrt{2} \)も先ほどの切断(A,B)によって新たな数として定義された。

今回は有理数で考えてきたが、整数のときだと(1)のパターンしかありえない。これは整数集合は稠密ではないからである。例えば0.5が境目だとしたとき、Aの最大の数は0、Bの最小の数は1であるから(1)に該当する。他のパターンはあり得ない